原题
已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$ 的左右焦点, $A, B \in C$, 且满足 $\overrightarrow{AF_2} = \lambda \overrightarrow{F_2 B} (\lambda > 0)$. 若 $\cos \angle A F_1 B = \frac{3}{5}$, 求 $\triangle ABF_1$ 的内切圆半径.
答案
内切圆半径为 2.
解析
双曲线方程为 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$, 可得:
- $a^2 = 4 \implies a = 2$
- $b^2 = 6$
- $c^2 = a^2 + b^2 = 10 \implies c = \sqrt{10}$
- 焦距 $|F_1 F_2| = 2c = 2\sqrt{10}$
由 $\overrightarrow{AF_2} = \lambda \overrightarrow{F_2 B} (\lambda > 0)$ 可知, $A, F_2, B$ 三点共线, 且 $F_2$ 位于线段 $AB$ 之间. 即 $AB$ 是过右焦点 $F_2$ 的一条弦, 并且 $A$, $B$都在双曲线的右支.
设 $|AF_1| = m$, $|BF_1| = n$. 根据双曲线定义, 对于右支上的点 $P$, 有 $|PF_1| - |PF_2| = 2a = 4$. 那么有:
- $|AF_2| = |AF_1| - 2a = m - 4$
- $|BF_2| = |BF_1| - 2a = n - 4$
- $\triangle ABF_1$ 的边 $AB$ 长度为: $|AB| = |AF_2| + |BF_2| = (m - 4) + (n - 4) = m + n - 8$
在 $\triangle ABF_1$ 中, 已知 $\cos \angle AF_1B = \frac{3}{5}$, 则 $\sin \angle AF_1B = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$.
由余弦定理:
$$ |AB|^2 = |AF_1|^2 + |BF_1|^2 - 2|AF_1||BF_1| \cos \angle AF_1B $$代入边长表达式:
$$ (m + n - 8)^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cdot \frac{3}{5} $$展开左边:
$$ (m+n)^2 - 16(m+n) + 64 = m^2 + n^2 - \frac{6}{5}mn $$$$ m^2 + 2mn + n^2 - 16(m+n) + 64 = m^2 + n^2 - \frac{6}{5}mn $$消去 $m^2, n^2$ 并整理:
$$ 2mn + \frac{6}{5}mn = 16(m+n) - 64 $$即
$$ \frac{16}{5}mn = 16(m+n) - 64 $$两边同除以 16:
$$ \frac{1}{5}mn = (m+n) - 4 $$$$ mn = 5(m+n) - 20 $$
设 $\triangle ABF_1$ 的内切圆半径为 $r$, 面积为 $S$, 半周长为 $s$. 则:
$$ \begin{aligned} s &= \frac{|AF_1| + |BF_1| + |AB|}{2} \\ &= \frac{m + n + (m + n - 8)}{2} \\ &= \frac{2(m+n) - 8}{2} \\ &= m + n - 4 \end{aligned} $$$$ S = \frac{1}{2} |AF_1| |BF_1| \sin \angle AF_1B = \frac{1}{2} mn \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5} mn $$故
$$ r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{2}{5} mn}{m + n - 4} $$将步骤 3 中得到的 $mn = 5(m+n) - 20 = 5(m+n-4)$ 代入上式:
$$ r = \frac{\frac{2}{5} \cdot 5(m+n-4)}{m+n-4} = 2 $$